\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\expect}[1]{\ensuremath{\langle #1 \rangle}}
\begin{document}
	
	\section{经典情况}
	\subsection{Hamilton 力学}
	\footnote{本文是Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics的学习笔记。}
	在经典的分析力学中，系统的动力学规律由Hamilton方程描述。
	\begin{equation} \label{eqH}
		\left \{
		\begin{aligned}
			H & = H(q_1, q_2, ..., p_1, p_2, ..., t) \\
			\dv{q_i}{t} &= \pdv{H}{p_i} \\ 
			\dv{p_i}{t} &= -\pdv{H}{q_i} \\ 
		\end{aligned}
		\right.
		\qquad i=1,2,3,...,s
	\end{equation}
	
	\subsection{守恒}
	我们以广义动量守恒为例子。
	如果我们说“某一广义动量$p_i$是守恒的”，那么我们的意思是 “这一广义动量$p_i$不随时间变动”。
	\begin{equation}
		\text{$p_i$守恒} \Leftrightarrow \dv{p_i}{t} = 0
	\end{equation}
	
	\subsection{对称性}
	我们以平移对称性为例子。
	如果我们说“系统在某一广义坐标$q_i$上具有平移对称性”，
	那么我们的意思是 “当系统在$q_i$方向上‘平移’过一定距离后，$H$仍相同”（当$q_i$取值不同时，$H$仍相同），
	或者更直截了当的 ，“$H$不显含某一广义坐标$q_i$”，
	\begin{equation}
		\text{系统在$q_i$上具有平移对称性}
		\Leftrightarrow H(...,q_i,...) = H(...,q_i + \dd q_i,...)
		\Leftrightarrow \pdv{H}{q_i}= 0
	\end{equation}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.7\linewidth]{Apple}
		\caption
		{
			a. 这个苹果具有水平方向的平移不变性，但不具有垂直方向的平移不变性；
			b. 这个苹果水平方向上的动量守恒，但垂直方向上动量改变
		}
		\label{fig:apple}
	\end{figure}
	比如说，如图\ref{fig:apple} a 所示，对于一个只受重力的苹果，
	\begin{itemize}
		\item 在水平方向上，无论他被放在靠左一点的位置还是靠右一点的位置，
		他的Hamilton量总是相同的（在这种情况下，其Hamilton量相当于机械能，等于动能+重力势能），因此他在水平方向上具有平移对称性；
		\item 相反的，在垂直方向上，由于不同高度处苹果的重力势能不同，因此他在垂直方向上不具有平移对称性。	\textsl{从高处落下的苹果砸到人明显更疼。}
	\end{itemize}
	
	\subsection{联系对称与守恒}
	Hamilton方程直接联系了以上二方面，直接解释了对称与守恒的深刻内在联系：
	\begin{equation}
		\text{系统在$q_i$上具有平移对称性}
		\Rightarrow
		\pdv{H}{q_i}= 0
		\Rightarrow
		\dv{p_i}{t} = 0
		\Rightarrow
		\text{$p_i$守恒} 
	\end{equation}
	由此，平移对称性意味着广义动量守恒。所谓“对称导致守恒”。
	
	比如说，如图\ref{fig:apple} b 所示，这个苹果正在做抛体运动。
	\begin{itemize}
		\item 水平方向上苹果具有平移对称性，因此其水平方向上动量不变；
		\item 而垂直方向上不具有平移对称性，因此其垂直方上动量可能改变。		
	\end{itemize}
	这个和我们在\textsl{小学二年级}所学到的物理是完全一致的。
	
	\newpage
	\section{量子情况：平移}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.8 \linewidth]{pic}
		\caption{示意图：a. 波函数的平移；b. 波函数的旋转；c. 关于原点对称波函数（宇称）}
		\label{fig:pic}
	\end{figure}
	
	
	\subsection{Schrodinger 方程}
	在量子世界中，粒子的状态由波函数$\ket{\Psi}$描述，其动力学规律由Schrodinger方程描述：
	\begin{equation}
		\Psi = \Psi(x,y,z,t) \qquad i \hbar \pdv{\ket{\Psi}}{t} = \hat H \ket{\Psi}
	\end{equation}
	（严格地说，波函数$\Psi$是ket$\ket{\Psi}$在位置表象下的展开，二者含义不完全相同，但此处不加以区分）
	
	\subsection{守恒1}
	我们以动量守恒为例子。
	如果我们说“动量$p$是守恒的”，那么我们的意思是 “动量的期望$\expect{p}$不随时间变动”。
	\begin{equation}
		\text{$p$守恒} \Leftrightarrow \dv{\expect{p}}{t} = 0
	\end{equation}
	
	\subsection{守恒2：Ehrenfest定理}
	一方面，我们知道物理量，比如动量，的期望由波函数与相应算符的内积得到
	\begin{equation}
		\expect{p} = \bra{\Psi} \hat p \ket{\Psi}
	\end{equation}
	另一方面，波函数的动力学规律由Schrodinger方程确定，其指出波函数的变化与哈密顿量间千丝万缕的联系：
	\begin{equation}
		i \hbar \pdv{\ket{\Psi}}{t}= \hat H \ket{\Psi}  \qquad 	\pdv{\ket{\Psi}}{t}= -i/\hbar \hat H \ket{\Psi} 
	\end{equation}
	因此我们合理猜测，物理量守恒与否与哈密顿量有关，具体而言（以下假设算符自身不显含时）：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\dv{\expect{p}}{t} &= \dv{}{t} \bra{\Psi} \hat p \ket{\Psi} \\
			& =  \bra{\dv{\Psi}{t}} \hat p  \ket{\Psi} + \bra{\Psi} \hat p \ket{\dv{\Psi}{t}} \\
			& =  \bra{-i/\hbar \hat H {\Psi} } \hat p  \ket{\Psi} + \bra{\Psi} \hat p \ket{-i/\hbar \hat H {\Psi} } \\
			& =  \bra{{\Psi} } i/\hbar \hat H \hat p  \ket{\Psi} - \bra{\Psi} \hat p i/\hbar \hat H \ket{{\Psi} } \\
			& = i/\hbar\bra{{\Psi} } \hat H \hat p - \hat p \hat H   \ket{\Psi} \\
			& = i/\hbar \bra{{\Psi} } [\hat H, \hat p]  \ket{\Psi} \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	也就是说，物理量守恒与否，取决于他的算符与哈密顿算符是否互易：
	\begin{equation}
		p \text{是守恒量} \Leftrightarrow \dv{\langle p \rangle}{t} =0 \Leftrightarrow [\hat H, \hat p] = 0
	\end{equation}
	此为Ehrenfest定理。可以推广到动量之外的量。
	
	\subsection{对称性1：平移与平移算符}
	我们以平移对称性为例子。
	在量子世界中，平移相当于将波函数在某一方向上整体移动一定距离。
	我们假定在$x$方向上将波函数$\Psi$平移过$a$得到$\Psi^{(2)}$，那么：
	\begin{equation}
		\Psi^{(2)}(x) = \Psi(x - a)
	\end{equation}
	学术地说，这一平移变换可以由平移算符$\hat T$描述（别忘了，算符是一种变换，其将一种波函数变换为另一个波函数）：平移算符将被作用的波函数平移$a$的距离并得到一个新的波函数：
	\begin{equation}
		\Psi^{(2)}(x) = \hat T \Psi(x) = \Psi(x-a)
	\end{equation}
	尽管我们引入了平移算符，但我们还不知道平移算符的具体形式，我们希望使用已知的算符来表达平移算符。
	我们先假设$a$是一个小量$\delta a \to 0$，那么：
	\begin{equation}
		\Psi(x-\delta a) \approx \Psi(x) - \pdv{\Psi}{x} \delta a
	\end{equation}
	注意到
	\begin{equation}
		\hat p = - i\hbar \pdv{}{x} \qquad \pdv{}{x}  = i/\hbar \hat p
	\end{equation}
	因此
	\begin{equation}
		\Psi(x-\delta a)  = \Psi(x) - \frac{i}{\hbar} \delta a \hat p \Psi(x)
	\end{equation}	
	对比得
	\begin{equation}
		\hat T = 1- \frac{i}{\hbar} \delta a \hat p \qquad \text{小位移}
	\end{equation}
	也就是说，我们神奇地联系了动量算符与平移算符这两个看似毫无关系的东西。
	
	
		
	\subsection{对称性2：平移对称性}
	如果我们说“波函数在某一方向$x$上具有平移对称性”，
	那么（不太准确地说，）我们的意思是“当波函数在$x$方向上平移过一定距离后，能量的期望$\expect{H}$仍相同”，
	\begin{equation}
		\text{波函数在$x$上具有平移对称性}
		\Leftrightarrow 
		\expect{H^{(2)}} = \expect{H}
		\Leftrightarrow
		\bra{\Psi^{(2)}} \hat H \ket{\Psi^{(2)}} = \bra{\Psi} \hat H \ket{\Psi}
	\end{equation}
	进一步而言，根据内积的运算技巧，我们有
	\begin{equation}
		\expect{H^{(2)}} =
		\bra{\hat T \Psi} \hat H \ket{\hat T \Psi} =  \bra{\Psi} (\hat T)^H \hat H \hat T \ket{\Psi}
	\end{equation}
	对比发现，
	\begin{equation}
		\expect{H^{(2)}} = \expect{H}
		\Rightarrow
		\bra{\Psi} (\hat T)^H \hat H \hat T \ket{\Psi} = \bra{\Psi} \hat H \ket{\Psi} 
		\Rightarrow 
		\hat H = (\hat T)^H \hat H \hat T
	\end{equation}
	又由于$\hat T$是酉算符
	\begin{equation}
		(\hat T )^{-1} = (\hat T)^H
	\end{equation}
	因此
	\begin{equation}
		\hat H = (\hat T)^H \hat H \hat T \Rightarrow \hat T \hat H = \hat H \hat T \Rightarrow [\hat H, \hat T] = 0
	\end{equation}
	因此，我们得到了对称性更准确的含义：
	\begin{equation}
		\text{波函数在$x$上具有平移对称性}
		\Rightarrow
		\hat H = (\hat T)^H \hat H \hat T
		\Rightarrow 
		[\hat H, \hat T] = 0
	\end{equation}
	有点神奇的是，这个公式和Ehrenfest定理形式上一致。

	\subsection{联系对称与守恒}
	尽管在量子世界中对称和守恒的关系不再那么直观，
	但经过上述一番论证后，我们还是设法联系了对称和守恒：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\text{系统在$x$上具有平移对称性}
			& \Rightarrow
			\expect{H^{(2)}} = \expect{H} \\
			& \Rightarrow
			[\hat H, \hat T] = 0 \\
			& \Rightarrow
			[\hat H, \hat p] = 0 \qquad \text{平移算符的定义} \\
			& \Rightarrow
			\dv{\expect{p}}{t} =0 \qquad \text{Ehrenfest 定理} \\
			& \Rightarrow 
			\text{$x$方向动量$p$守恒}  \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	从$[\hat H, \hat T]=0$推导$[\hat H, \hat p]=0$的证明较为简单，\textsl{按惯例交给读者作为练习}。
	因此，在量子世界中，平移对称性依然导致动量守恒。

	\newpage
	
	\section{量子情况：旋转}

	\subsection{旋转与旋转算符}
	接下来我们将讨论旋转，在量子世界中，波函数也可以被整体旋转。
	波函数的一个小旋转是：
	\begin{equation}
		\Psi^{(2)}(r,\theta,\varphi) = \Psi(r,\theta - \delta \theta, \varphi - \delta \varphi)
	\end{equation}
	这一操作同样可以使用旋转算符$\hat R$表示：
	\begin{equation}
		\Psi^{(2)} = \hat R \Psi
	\end{equation}
	仿照上述分析，我们试图找到$\hat R$的具体表达式。和之前一样，展开$\Psi^{(2)}$：
	\begin{equation}
		\Psi^{(2)}(r,\theta,\varphi) 
		= \Psi(r,\theta - \delta \theta, \varphi - \delta \varphi)
		\approx  \Psi(r,\theta, \varphi) - \pdv{\Psi}{\theta} \delta \theta - \pdv{\Psi}{\varphi} \delta \varphi
	\end{equation}
	注意到$\pdv{}{\theta} $与$\pdv{}{\varphi} $存在于角动量算符$\hat L_x, \hat L_y, \hat L_z$中：
	\begin{equation} 
		\begin{aligned} 
			\hat{L}_x &= -i\hbar \left( -\sin\varphi \pdv{}{\theta} - \cos \varphi \cot \theta \pdv{}{\varphi} \right) \\
			\hat{L}_y &= -i\hbar \left( \cos\varphi \pdv{}{\theta} - \sin \varphi \cot \theta \pdv{}{\varphi} \right) \\
			\hat{L}_z &= -i\hbar \pdv{}{\varphi} \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	因此我们应该能配凑角动量算符以表示上述关系，这相当于解决下列线性方程组，其中$\bvec{n}$与$\delta \alpha$未知：
	\begin{equation}
		\pdv{\Psi}{\theta} \delta \theta + \pdv{\Psi}{\varphi} \delta \varphi
		= \frac{i}{\hbar} \delta \alpha (n_1 \hat L_x + n_2 \hat L_y + n_3 \hat L_z ) \Psi
		= \frac{i}{\hbar} \delta \alpha \bvec{n} \cdot \bvec{\hat L} \Psi
	\end{equation}
	即
	\begin{equation}
		\left (
		\begin{matrix}
			-\sin\varphi & \cos\varphi & 0\\
			-\cos\varphi \cot \theta & -\sin\varphi \cot \theta & 1\\
		\end{matrix}
		\right )
		\left (
		\begin{matrix}
			n_1 \\ n_2 \\ n_3
		\end{matrix}
		\right )
		\delta \alpha
		= 
		\left (
		\begin{matrix}
			\delta \theta \\ 
			\delta \varphi \\ 
		\end{matrix}
		\right )
	\end{equation}
	我们相信这个方程组至少是有解的，而一旦这个方程组有解，其必然因为欠定而有无数解。
	我们取令$\bvec{n}$归一以及$\delta \alpha$绝对值最小的解，
	这相当于绕着$\bvec{n}$轴轻微旋转$\delta \alpha$角度。
	总之，
	\begin{equation}
		\Psi^{(2)}(r,\theta,\varphi) = \Psi(r,\theta,\varphi) - \frac{i}{\hbar} \delta \alpha \bvec{n} \cdot \bvec{\hat L} \Psi
	\end{equation}
	于是
	\begin{equation}
		\hat R = 1- \frac{i}{\hbar} \delta \alpha \bvec{n} \cdot \bvec{\hat L} \qquad \text{小旋转}
	\end{equation}
	我们得到了旋转算符的形式。

	\subsection{联系对称与守恒}
	仿照上文的分析，我们联系旋转对称性与角动量守恒：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\text{系统关于任意转轴$\bvec n$具有旋转对称性}
			& \Rightarrow 
			\expect{H^{(2)}} = \expect{H} \\
			& \Rightarrow
			[\hat H, \hat R] = 0 \\
			& \Rightarrow
			[\hat H, \bvec n \cdot \bvec{\hat L}] = 0 \\
			& \Rightarrow
			[\hat H, \hat L_x] = [\hat H, \hat L_y]=[\hat H, \hat L_z]=0 \qquad \text{$\bvec n$是任意的}\\
			& \Rightarrow 
			\text{角动量$\expect{L_x},\expect{L_y},\expect{L_z}$守恒}  \\
		\end{aligned}
	\end{equation}

	\newpage

	\section{量子情况：宇称}
	在量子世界中，还有一种操作被称为宇称。
	对波函数作用宇称，相当于关于原点对称波函数：
	\begin{equation}
		\Psi^{(2)}(x) = \Psi(-x)
	\end{equation}
	或者写为宇称算符的形式：
	\begin{equation}
		\Psi^{(2)} = \hat \Pi \Psi
	\end{equation}
	同上文一样，宇称对称性将导致宇称守恒：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\text{系统具有宇称对称性}
			& \Rightarrow 
			\expect{H^{(2)}} = \expect{H} \\
			& \Rightarrow
			[\hat H, \hat \Pi] = 0 \\
			& \Rightarrow 
			\text{宇称$\expect{\Pi} = \bra{\Psi} \hat \Pi \ket{\Psi}$守恒}  \\
		\end{aligned}
	\end{equation}



	顺带说一句，宇称算符的本征值是$\pm 1$（G书习题6.8）。证明如下：
	首先容易证明，对波函数作用两次宇称后得到原先的波函数
	$$\hat \Pi \hat \Pi \Psi = \Psi$$
	其次写出宇称算符的本征方程
	$$
	\hat \Pi \ket{\Psi} = \lambda \ket{\Psi}
	$$
	两侧同时作用宇称
	$$
	\hat \Pi \hat \Pi \ket{\Psi} = \lambda \hat \Pi \ket{\Psi}
	$$
	即
	$$
	\ket{\Psi} = \lambda \hat \Pi \ket{\Psi}
	$$
	代回本征方程
	$$
	\hat \Pi \ket{\Psi} = \lambda^2 \hat \Pi \ket{\Psi}
	$$
	因此
	$$
	\lambda = \pm 1
	$$
	
\end{document}
